Τα Μαθηματικά ορίζονται συνήθως ως η επιστήμη των αριθμών, των σχημάτων και των φυσικών μεγεθών, που μελετά τις μεταξύ τους σχέσεις καθώς και τις σχέσεις τους στο χώρο και στο χρόνο. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη, είναι η έρευνα για τις αξιωματικά καθορισμένες αφηρημένες δομές που χρησιμοποιούν τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία.
Αυτές οι συγκεκριμένες δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τους τομείς που μελετούν για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα μαθηματικά ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.
Η λέξη προέρχεται από τον (αρχαίο) πληθυντικό τού ουδετέρου τού επιθέτου μαθηματικός < μαθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ γνώσεις, γνώση, παιδεία, πείρα, εμπειρία
Πίνακας περιεχομένων[Απόκρυψη] |
Οι κυριότεροι κλάδοι των μαθηματικών προέκυψαν από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών, μέτρησης του εδάφους και πρόβλεψης αστρονομικών γεγονότων. Αυτές οι τρεις ανάγκες σχετίζονται με την-υπό την ευρεία έννοια-υποδιαίρεση των μαθηματικών στη μελέτη της δομής, του χώρου και της μεταβολής.
Η μελέτη της δομής αρχίζει με τους γνωστούς αριθμούς, που είναι οι φυσικοί αριθμοί και οι ακέραιοι καθώς και τις αριθμητικές πράξεις μεταξύ τους, οι οποίες εξετάζονται από την στοιχειώδη άλγεβρα. Οι ιδιότητες των αριθμών γενικά εξετάζονται από την θεωρία αριθμών. Η έρευνα για τις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων οδηγεί στο πεδίο που λέγεται αφηρημένη άλγεβρα, η οποία, μεταξύ άλλων, μελετά τις δομές που γενικεύουν τις ιδιότητες των γνωστών αριθμών δηλαδή ομάδα, δακτύλιος και σώμα. Η σημαντική από φυσική άποψη έννοια διάνυσμα, που γενικεύεται από τη δομή που καλείται διάνυσματικός χώρος και μελετιέται από την γραμμική άλγεβρα, ανήκει στους δύο κλάδους της δομής και του χώρου.
Η μελέτη του διαστήματος προέρχεται από την γεωμετρία, γνωστή ως Ευκλείδειος γεωμετρία και τριγωνομετρία για τον αντιληπτό από τις αισθήσεις μας τρισδιάστατο χώρο, αλλά αργότερα γενικεύεται στις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες που παίζουν έναν κεντρικό ρόλο μέσα στην γενική σχετικότητα. Μερικά προβλήματα που απασχόλησαν το μαθηματικό κόσμο για αιώνες σχετιζόμενα με τις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη λύθηκαν τελικά από την θεωρία Galois. Οι σύγχρονοι κλάδοι που ονομάζονται διαφορική γεωμετρία και αλγεβρική γεωμετρία γενικεύουν τη γεωμετρία σε διαφορετικές κατευθύνσεις: στη διαφορική γεωμετρία βασικές έννοιες είναι οι συναρτήσεις, οι διαφορικοί τελεστές, η ομαλότητα και η διεύθυνση, ενώ στην αλγεβρική γεωμετρία τα γεωμετρικά αντικείμενα περιγράφονται ως σύνολα λύσεων που ικανοποιούν πολυωνυμικές εξισώσεις. Η θεωρία ομάδων ερευνά την έννοια της αφηρημένης συμμετρίας και συνδέει τη μελέτη του χώρου με αυτήν της δομής. Η τοπολογία συνδέει τη μελέτη του χώρου και τη μελέτη της μεταβολής εστιάζοντας στην συνέχεια.
Η κατανόηση και η περιγραφή της μεταβολής στις μετρήσιμες ποσότητες είναι το κοινό θέμα των φυσικών επιστημών, και ο λογισμός αναπτύχθηκε ως ένα χρήσιμο εργαλείο ακριβώς για αυτό. Η κεντρική έννοια που χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια μεταβολή είναι η συνάρτηση. Πολλά προβλήματα αντιμετωπίζονται ως σχέσεις μεταξύ μιας ποσότητας και του ρυθμού μεταβολής της, και επιλύονται ως διαφορικές εξισώσεις. Οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύσουν τις συνεχείς ποσότητες είναι οι πραγματικοί αριθμοί, και η λεπτομερής μελέτη των ιδιοτήτων τους και των ιδιοτήτων των πραγματικών συναρτήσεων είναι γνωστοί ως πραγματική ανάλυση. Η συναρτησιακή ανάλυση εστιάζει σε χώρους συναρτήσεων, θέτοντας τη βάση μεταξύ άλλων για την κβαντομηχανική. Πολλά φυσικά φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν δυναμικά σύστηματα και η θεωρία του χάους εξετάζει το γεγονός ότι πολλά από αυτά τα σύστηματα έχουν απρόβλεπτη πλην όμως αιτιοκρατική συμπεριφορά.
Προκειμένου να αποσαφηνιστούν και να διερευνηθούν τα θεμέλια των μαθηματικών, αναπτύχθηκε η θεωρία συνόλων, η μαθηματική λογική και η θεωρία μοντέλων.
Όταν πρωτοεμφανίστηκαν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, οι μαθηματικοί διαμόρφωσαν διάφορες ουσιαστικές θεωρητικές έννοιες που οδηγούν σε κλάδους όπως θεωρία πληροφοριών και θεωρία αλγορίθμων. Πολλά από αυτά τα προβλήματα ερευνά τώρα σε θεωρητικό επίπεδο η επιστήμη υπολογιστών(computer science). Διακριτά μαθηματικά είναι το κοινό όνομα για εκείνα τα πεδία των μαθηματικών που είναι χρήσιμα στην επιστήμη των υπολογιστών. Ένα σημαντικό πεδίο μέσα στα εφαρμοσμένα μαθηματικά είναι η στατιστική, που χρησιμοποιούν την θεωρία των πιθανοτήτων ως εργαλείο και επιτρέπει την περιγραφή, την ανάλυση και την πρόβλεψη των φαινομένων και χρησιμοποιείται σε όλες τις επιστήμες. Η αριθμητική ανάλυση αναζητεί αποτελεσματικές αριθμητικές μεθόδους επίλυσης διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων με τη χρήση υπολογιστών και υπολογίζει τα σφάλματα στρογγυλοποίησης
Ο παρακάτω αλφαβητικός κατάλογος αντικειμένων των μαθηματικών χρησιμεύει για να παρακολουθούνται τυχόν αλλαγές σε άρθρα μαθηματικού ενδιαφέροντος.
Αριθμοί -- Πραγματικοί Αριθμοί -- Ρητοί Αριθμοί -- Μιγαδικοί Αριθμοί -- Υπερπραγματικοί Αριθμοί
Αριθμητική -- Λογισμός -- Διανυσματικός Λογισμός -- Μαθηματική Ανάλυση -- Διαφορικές Εξισώσεις -- Δυναμικά συστήματα και χάος
Άλγεβρα -- Θεωρία Αριθμών -- Αλγεβρική Γεωμετρία -- Θεωρία Ομάδων -- Τοπολογία -- Γραμμική Άλγεβρα -- Θεωρία Γράφων -- Θεωρία Κατηγοριών
Τοπολογία -- Γεωμετρία -- Τριγωνομετρία -- Αλγεβρική Γεωμετρία -- Διαφορική Γεωμετρία -- Διαφορική Τοπολογία -- Αλγεβρική Τοπολογία -- Γραμμική Άλγεβρα
Πιθανότητες -- Πεπερασμένα Μαθηματικά -- Κρυπτογραφία -- Θεωρία Γραφημάτων -- Θεωρία Παιγνίων
Μηχανική -- Αριθμητική Ανάλυση -- Επιχειρησιακή Έρευνα -- Πιθανότητες -- Στατιστική -- Οικονομικά Μαθηματικά
Τελευταίο θεώρημα του Φερμά -- Υπόθεση του Riemann -- Υπόθεση του συνεχούς -- Πυθαγόρειο Θεώρημα -- Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας
Φιλοσοφία των Μαθηματικών -- Θεμέλια των Μαθηματικών -- Θεωρία Συνόλων -- Λογική -- Θεωρία Μοντέλων -- Θεωρία Κατηγοριών -- Πίνακας Μαθηματικών Συμβόλων
Ιστορία των Μαθηματικών -- Μεγάλοι Μαθηματικοί -- Μαθηματικές Ενώσεις και Εταιρίες -- Μαθηματικές Ολυμπιάδες -- Διδακτική των Μαθηματικών
Αναφορικά με την αξιωματική μέθοδο, όπου θέτουμε κάποιες θεμελιώδεις αρχές μιας (αλλιώτικα άγνωστης) δομής και στη συνέχεια οι υπόλοιπες προτάσεις προκύπτουν λογικά, Ο Bertrand Russell έλεγε:
Αυτό εξηγεί γιατί ο John Von Neumann είπε κάποτε: