Matematik

Matematik (av grekiska máthema, "vetenskap") kan definieras som läran om storheter, strukturer och mönster. Matematiken består av metoder för att beskriva och analysera abstrakta samband, samt kunskap i form av redan härledda resultat. Viktiga områden är talteori, algebra, analys, geometri, topologi, mängdteori och statistik, bland många andra.

Matematiken är helt abstrakt och skiljer sig på så sätt från naturvetenskap. Däremot används den inom alla vetenskaper som ett verktyg för att formulera och lösa problem. Matematikens roll är särskilt framträdande inom fysiken, vars lagar formuleras matematiskt, och vars framsteg skett i takt med att matematikens förmåga att behandla mer sofistikerade problem utvecklats. En stor del av den matematiska forskningen sker dock utan tanke på tillämpningar, och det kan ta årtionden innan nya upptäckter kommer till praktisk nytta. Matematiker är i allmänhet intresserade av ämnet som sådant, såväl för intellektuell stimulans som för att de upplever det som estetiskt tilltalande.

Från sitt ursprung i den grundläggande räknekonsten har den matematiska kunskapen och metodiken utvecklats under loppet av årtusenden. Framstående matematiska kulturer fanns bland annat under antiken i Babylonien och Grekland, och under medeltiden i mellanöstern. Utvecklingen kom dock att explodera i det eftermedeltida Europa, väsentligen i samband med den vetenskapliga revolutionen, och i dag bedrivs mer matematisk forskning än någonsin tidigare.

Innehåll [göm] 1 Historik 1.1 Förhistorisk tid, antiken och medeltiden 1.2 Genombrottet i Europa 1.3 Modern utveckling 2 Egenskaper och metodik 2.1 Matematiskt språk och abstraktion 2.2 Bevisföring 2.3 Estetik 2.4 Matematikens filosofi 3 Ämnen inom matematik 3.1 Kvantitet 3.2 Förändring 3.3 Struktur 3.4 Rymd 3.5 Diskret matematik 3.6 Tillämpad matematik 3.7 Berömda satser och hypoteser 3.8 Matematikens grunder och metoder 4 Grenar inom matematiken 5 Matematikhistoria 5.1 Se även 6 Se även 7 Källor 8 Externa länkar

[redigera]

Historik

Huvudartikel: Matematikens historia

Rekonstruktion av romersk abakus.

Matematikens historia sträcker sig från förhistorisk tid till nutid. Den innefattar – utöver ett kontinuerligt ansamlande av matematisk kunskap – utveckling av arbetsmetoder och upptäckter av nya tillämpningsområden, och är tätt sammanvävd med naturvetenskapens, teknikens och filosofins historia.

[redigera]

Förhistorisk tid, antiken och medeltiden

Om matematik ses som det medvetna användandet av abstrakta strukturer, inleds dess historia sannolikt med uppkomsten av antal som begrepp – insikten att såväl två äpplen som två apelsiner representerar en kvantitet. Den mänskliga förmågan att räkna är minst 50 000 år gammal, möjligtvis med ursprung strax efter eller i samband med språkets uppkomst. En nödvändig förutsättning för matematikens utveckling var också skrivkonsten och med den förmågan att skriva ner tal och samband på ett systematiskt sätt.

Alla tidiga civilisationer utvecklade ett matematiskt kunnande för att lösa praktiska problem i samband med bokföring, astronomi, jordbruk och konstruktion. Bland andra de antika babylonierna, egyptierna, indierna och senare grekerna använde sig av sofistikerade talsystem, numeriska metoder, geometri, och talteori. Grekerna utvecklade även logiken och den deduktiva bevisföringen. En stor del av antikens kända matematiska resultat och metoder sammanfattades ca 300 f.Kr. av Euklides i verket Elementa.

Under det efterföljande årtusendet levde matematiken vidare i arabvärlden, Indien och Kina. Talet noll och decimalsystemet började under den här perioden användas. Den persiske matematikern och vetenskapsmannen al-Khwarizmi utvecklade kring 800 algebran väsentligt.

[redigera]

Genombrottet i Europa

Den matematiska traditionen upptogs i Europa först efter medeltiden, möjliggjord av Adelards översättningar från 1100-talet av arabiska verk till latin. Utvecklingen tog fart i 1500-talets Italien, med insatser inom algebra av bland andra Girolamo Cardano. De italienska framgångarna ledde till en ökad entusiasm för matematisk forskning som spred sig till övriga Europa. De följdes av Kartesius som tillämpade algebran på geometriska problem, och Pierre Fermat samt Blaise Pascal som utvecklade sannolikhetsläran.

Matematiken fick en betydande roll i samband med den vetenskapliga revolutionen som började kring 1600, då Johannes Kepler och Galileo Galilei använde matematiska samband för att beskriva fysikaliska fenomen. Under 1600-talet utvecklades också grunderna till den matematiska analysen, löst uttryckt läran om samband mellan storheter som genomgår förändring, som utgör ett viktigt problemlösningsverktyg inom alla inriktningar av vetenskap och teknik. En av analysens förgrundsgestalter var Newton, som använde den för att formulera den klassiska mekaniken.

Parallellt med matematikens ökade tillämpning utvecklades den i en alltmer abstrakt riktning. Under 1700-talet och 1800-talet växte den matematiska kunskapen explosionsartat, med uppkomsten av nya områden som topologi, analytisk talteori och analytisk geometri.

[redigera]

Modern utveckling

En viktig upptäckt under 1800-talet var den icke-euklidiska geometrin, inom vilken rummet är krökt så att parallella raka linjer kan korsa varandra. Den icke-euklidiska geometrin kom som en överraskning eftersom man bara trott att det fanns en geometri – den euklidiska som överensstämmer med mänsklig intuition – men paradoxalt nog kom Albert Einstein under början av 1900-talet att visa med sin relativitetsteori att det är icke-euklidsk geometri som beskriver verkligheten. Generellt kom matematiska och fysikaliska upptäckter att driva på varandra under 1900-talet, och tidigare helt abstrakta matematiska idéer visade sig få tillämpningar inom kvantmekanik och andra områden.

Föregående århundradens framsteg gav det tidiga 1900-talets matematiker tillförsikt att försöka formalisera matematiken fullständigt. Målet var att härleda alla matematiska sanningar med hjälp av enkla och väldefinierade logiska regler, och eventuellt hitta en metod för att härleda matematiska sanningar "mekaniskt". Arbetet visade sig dock vara lönlöst, då Kurt Gödel år 1931 vände upp och ner på den rådande matematiska världsbilden genom att bevisa att varje formellt system antingen är otillräckligt eller leder till självmotsägelser.

Under 1900-talet fick matematiken nya tillämpningar i och med datorernas intåg.

I dag är den matematiska vetenskapen så omfattande och snabbt växande att ingen matematiker kan ha en ingående bekantskap med alla dess inriktningar. Årligen publiceras ett hundratusental artiklar med nya matematiska resultat.

[redigera]

Egenskaper och metodik

Matematiker studerar tal, geometriska figurer, och många andra abstrakta föremål som kan vara mer eller mindre svåra att få en intuitiv uppfattning om. Målet är i allmänhet att försöka upptäcka mönster och sammanhang. Mönstren sammanfattas i form av regler som, förutom att ge en förståelse av de objekt som studeras, kan användas för att lösa nya problem. Matematiker försöker också, genom rigoröst logiskt resonemang, bevisa att reglerna verkligen stämmer.

[redigera]

Matematiskt språk och abstraktion

För att beskriva abstrakta begrepp använder matematiker speciella symboler och konventioner. Den matematiska notationen låter matematiker uttrycka ideer på ett koncist och exakt sätt.

Matematikerna har under århundradena utvecklat ett språk för att uttrycka sina resultat och kommunicera med varandra. Det matematiska språket är nödvändigt, eftersom naturliga språk sällan är exakt nog.

[redigera]

Bevisföring

Matematiken är objektiv och exakt, eftersom den bygger på logik och är oberoende av den fysiska världen. Oavsett hur starkt stöd utförda observationer ger en naturvetenskaplig teori är det i princip möjligt att nästa observation omkullkastar den, men ett matematiskt resultat är otvivelaktigt och evigt sant då det en gång bevisats.

Matematiska resultat utgörs av satser (eller teorem), antaganden som har bevisats objektivt. Ett matematiskt bevis består av ett antal steg som följer logiska inferensregler. Eftersom varje steg bara kan härleda en sanning från en annan, krävs grundläggande, uppenbara sanningar som alla andra resultat kan falla tillbaka på. Dessa sanningar kallas axiom. Det visar sig att nästan alla kända matematiska resultat kan härledas från endast en handfull axiom, de mängdteoretiska axiomen.

I praktiken följer matematiker ofta sin intuition eller experimenterar sig fram då de angriper nya problem, men det är av yttersta vikt att resultaten kan bevisas formellt, då det finns många exempel på "intuitivt sanna" antaganden från matematikens historia som visat sig vara felaktiga vid grundligare undersökning. Strävan att undanröja möjligheten till sådana fel var en bidragande orsak till utvecklingen av den matematiska formalismen som konsoliderades i början av 1900-talet.

[redigera]

Estetik

[redigera]

Matematikens filosofi

Huvudartikel: Matematikfilosofi

Precis vad matematik är, och hur matematiska sanningar relaterar till den fysiska världen och det mänskliga sinnet, är omtvistade frågor som studeras inom matematikfilosofin. Ett vanligt perspektiv är platonismen eller realismen, som hävdar att alla matematiska objekt existerar i en parallell idévärld. Matematiken ses som utforskandet av den världen, matematiska resultat som upptäckter. Andra menar att matematiken delvis eller helt och hållet är konstruerad av människor. Den tyske matematikern Leopold Kronecker (1823-1891) anmärkte att "Gud skapade heltalen. Allt annat är människans verk".

Den dominerande uppfattningen bland moderna matematiker är den formalistiska, dvs matematik ses som härledningen av teorem i något inferenssystem, utifrån några axiom. Axiomen och inferensreglerna ses inte som naturlagar, utan. Frågan är varför vissa axiom ger sanningar som verkar stämma med den fysiska världen. Formalismen säger ingenting om de matematiska objektens verklighet. Däremot löser den problem, t.ex. satser som inte kan avgöras.

Bland andra Eugene Wigner påpekar matematikens "orimliga effektivitet" inom naturvetenskap.

Många matematiker betraktar delvis ämnet som konst.

[redigera]

Ämnen inom matematik

[redigera]

Kvantitet

Tal -- Naturliga tal -- Heltal -- Rationella tal -- Reella tal -- Komplexa tal -- Hyperkomplexa tal -- Kvaternioner -- Oktonioner -- Sedenioner -- Hyperreella tal -- Surreella tal -- Ordinaltal -- Kardinaltal -- p-adiska tal -- Heltalssekvenser -- Matematiska konstanter -- Talnamn -- Oändligheten

[redigera]

Förändring

Aritmetik -- Analys -- Vektoranalys -- Komplex analys -- Differentialekvationer -- Lista över funktioner

[redigera]

Struktur

Abstrakt algebra -- Talteori -- Algebraisk geometri -- Gruppteori -- Monoider -- Analys -- Topologi -- Linjär algebra -- Grafteori -- Universell algebra

[redigera]

Rymd

Topologi -- Geometri -- Trigonometri -- Algebraisk geometri -- Differentialgeometri -- Differentialtopologi -- Algebraisk topologi -- Linjär algebra -- Fraktalgeometri

[redigera]

Diskret matematik

Kombinatorik -- Mängdteori -- Sannolikhet -- Beräkningsteori -- Kryptografi -- Grafteori -- Spelteori

[redigera]

Tillämpad matematik

Mekanik -- Numerisk analys -- Optimering -- Sannolikhetslära -- Statistik -- Finansiell matematik

[redigera]

Berömda satser och hypoteser

Fermats stora sats -- Riemannhypotesen -- Kontinuumhypotesen -- Goldbachs förmodan -- Tvillingprimtal -- Gödels ofullständighetssatser -- Poincarés förmodan -- Pythagoras sats -- Centrala gränsvärdessatsen -- Algebrans fundamentalsats -- Aritmetikens fundamentalsats -- Fyrfärgssatsen -- Zorns lemma

[redigera]

Matematikens grunder och metoder

Matematikfilosofi -- Matematisk intuitonism -- Matematisk konstruktivism -- Matematikens grunder -- Mängdteori -- Modellteori -- Bevis -- Logik -- Matematisk logik -- Tabell över matematiska symboler

[redigera]

Grenar inom matematiken

• Algebra
• Matematisk analys
• Aritmetik
• Diskret matematik
• Geometri
• Linjär algebra
• Matematisk statistik
• Mängdteori
• Talteori
• Topologi

[redigera]

Matematikhistoria

Huvudartikel: Matematikens historia

Det finns många uppfattningar om när matematiken uppstod. Talsystem utvecklades ofta ur skriften. Några viktiga oberoende utvecklingslinjer var mesoamerikansk matematik, matematiken kring Medelhavet (dit klassisk grekisk matematik och arabisk matematik räknas), vedisk matematik och kinesisk matematik.

Västerländsk matematik blev normbildande kring 1500-talet. Den hade ärvt positionssystem och algebra österifrån. Under 1600-talet utvecklades differential- och integralkalkyl.

[redigera]

Se även

• Mayakulturens matematik

[redigera]

Se även

Wikibooks har relaterade böcker. Se:

"Matematik"

• Abstrakt algebra
• Cayleytal
• Deliska problemet
• Derivata
• Digital
• Integral
• Hela tal
• Komplexa tal
• Kvaternion
• Lemma
• Lista över algebraartiklar
• Lista över funktioner
• Lista över statistikartiklar
• Lista över talteoriartiklar
• Lista över teorem
• Lista över vektoridentiteter
• Matematiker
• Matematikfilosofi
• Matematikens historia
• Matematisk logik
• Matrisaddition
• Mängd
• Naturliga tal
• Olösta matematiska problem
• Rationella tal
• Reella tal
• Sannolikhetsteori
• Teorem
• Matematikundervisning

[redigera]

Källor

• http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/HistTopics/History_overview.html
• Christer Kiselman - Vad är matematik?
• Att forska i matematik